Безразмерные переменные

Величина $\alpha = GM$ измеряется в м³/с². Приравняв её единице, мы связали единицу длины с единицей времени:

$$[t] = \sqrt{\frac{[l]^3}{GM}}$$

Единицу длины можно выбрать произвольно; после этого единица времени определяется значением $GM$. В задаче о маятнике аналогичная связь имеет вид $t_{\ast}=\sqrt{l/g}$.

Формула выше – по сути третий закон Кеплера, записанный для масштабов. Что естественно: раз единственная связь между длиной и временем в задаче – это тяготение, единица времени и обязана выражаться так же, как период орбиты.

Лучший способ поверить в безразмерность – получить из неё известный ответ.

Возьмём за единицу длины астрономическую единицу – среднее расстояние от Земли до Солнца, $1.496 \cdot 10^{11}$ м. Для Солнца $GM = 1.327 \cdot 10^{20}$ м³/с². Тогда единица времени:

$$[t] = \sqrt{\frac{(1.496 \cdot 10^{11})^3}{1.327 \cdot 10^{20}}} = 5.02 \cdot 10^{6}\ \text{c} = 58.1\ \text{d}$$

(58.1 суток.)

Земля движется по круговой орбите радиуса 1, значит в безразмерных величинах её период равен $2\pi \approx 6.283$. Переводим в обычные единицы:

$$6.283 \times 58.1 = 365\ \text{d}$$

Год. Причём получен он не подгонкой, а из двух табличных чисел и формулы – это и есть проверка, что схема безразмерных величин работает.

Значения по умолчанию: $\alpha = 1$, начальный радиус $x_0 = 2.5$, начальная скорость $V_y = 0.5$.

Если считать единицу длины астрономической единицей, то планета стартует в 2.5 а.е. от звезды – это между Марсом и поясом астероидов. Круговая скорость на этом радиусе – $\sqrt{1/2.5}$, а мы даём 0.5, и это меньше. Значит планета начинает падать внутрь, и орбита получается вытянутым эллипсом, у которого точка старта – самая дальняя (апоцентр).

Посчитаем эту орбиту заранее, чтобы было с чем сравнить результат расчёта:

В расчёте показание «Расстояние R» и должно гулять между 1.14 и 2.5. Сходится – значит работают и физика, и численный метод.

Если $\alpha = 1$ по построению, зачем её менять?

Затем, что в модель можно добавить вторую притягивающую массу – спутник планеты. Единицей мы объявили тяготение звезды, а тяготение спутника через него и выражается: если масса спутника в сто раз меньше массы планеты, её $\alpha$ равна 0.01 от планеты. Отношения масс – это уже физика, и они остаются в задаче даже после обезразмеривания.

Плюс чисто учебная польза: покрутив $\alpha$, видно, как та же начальная скорость даёт то круговую орбиту, то улёт – это помогает почувствовать формулу $v_I = \sqrt{\alpha / r}$ прежде, чем выводить её.