Физика: закон тяготения

Два тела массами $m$ и $M$ на расстоянии $R$ притягиваются с силой

$$F = G\frac{mM}{R^2}$$

где $G = 6.67 \cdot 10^{-11}$ – гравитационная постоянная в СИ.

Считаем, что звезда неподвижна (она много тяжелее), и находится она в начале координат. Тогда ускорение планеты по второму закону Ньютона:

$$a = \frac{F}{m} = \frac{GM}{R^2}$$

Масса планеты сократилась – как в баллистике и в задаче о маятнике. Причина одна и та же – сила тяжести пропорциональна массе, а ускорение обратно пропорционально ей же. Тяжёлый и лёгкий спутник на одной высоте летят по одной орбите.

Произведение $GM$ встречается всюду вместе, поэтому его обозначают одной буквой: $\alpha = GM$. В пульте программы есть ручка ровно с таким именем.

Мы знаем величину ускорения $a = \alpha / R^2$ и знаем, что оно направлено от планеты к звезде, то есть к началу координат. Нужно получить составляющие $a_x$ и $a_y$.

Планета в точке $(x, y)$, расстояние до центра $R = \sqrt{x^2 + y^2}$. Вектор от планеты к центру – это $(-x, -y)$; разделив его на длину $R$, получаем вектор единичной длины, который задаёт только направление:

$$\left(-\frac{x}{R},\ -\frac{y}{R}\right)$$

Осталось умножить направление на величину:

$$a_x = -\frac{x}{R}\, a, \qquad a_y = -\frac{y}{R}\, a$$

Эти две строки и стоят в программе. Приём – нормировка вектора: разделить на длину, чтобы осталось одно направление, потом умножить на нужную величину. Он встречается в любой задаче, где сила зависит от направления.

Подставив $a = \alpha/R^2$, можно записать короче:

$$a_x = -\frac{\alpha x}{R^3}$$

Куб в знаменателе часто смущает – кажется, что закон тяготения стал кубическим. Нет: один множитель $R$ ушёл на нормировку направления, а сама сила по-прежнему обратно пропорциональна квадрату.

Простейшее движение в этом поле – по окружности. Найдём, при какой скорости оно получается.

Тело на окружности радиуса $r$ имеет центростремительное ускорение $v^2/r$, и обеспечивать его должна тяжесть:

$$\frac{v^2}{r} = \frac{\alpha}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad v_{I} = \sqrt{\frac{\alpha}{r}}$$

Это круговая скорость на расстоянии $r$. В задачах о движении вокруг Земли её называют первой космической скоростью.

В программе $\alpha$ и стартовый радиус задаются ручками пульта, скорость – ручкой «Начальная скорость Vy». Подставив в формулу значения из пульта, можно заранее сказать, при какой скорости расчёт даст траекторию, близкую к круговой.

Заметьте: чем дальше от звезды, тем меньше нужная скорость. Дальние планеты движутся медленнее ближних – Меркурий проходит 48 км/с, Нептун 5.4.

Отнесём энергию к единице массы планеты (масса всё равно сократится):

$$K = \frac{v^2}{2}, \qquad U = -\frac{\alpha}{R}, \qquad E = K + U$$

Потенциальная энергия отрицательна, и это не ошибка знака. Ноль выбран на бесконечности: чтобы улететь от звезды бесконечно далеко, нужно совершить работу, значит вблизи энергия меньше нуля. Такой выбор удобен – по знаку полной энергии сразу видно тип движения:

Граничный случай $E = 0$ даёт вторую космическую скорость:

$$\frac{v^2}{2} - \frac{\alpha}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_{II} = \sqrt{\frac{2\alpha}{R}}$$

Это граница между эллипсом и улетающей траекторией.

У маятника было так же: знак энергии делил движение на два типа – колебания и вращение, а граница называлась сепаратрисой. Здесь ровно та же логика, только вместо сепаратрисы – параболическая траектория.

Есть ещё одна величина, которая сохраняется в центральном поле, – момент импульса $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$. Для движения по плоскости от векторного произведения остаётся одна компонента, то есть просто число (снова на единицу массы).

Почему он сохраняется: момент силы равен $\vec{r} \times \vec{F}$, а сила направлена вдоль $\vec{r}$. Векторное произведение параллельных векторов – ноль, значит момент импульса не меняется вообще ни при какой силе, направленной к центру. Даже если бы притяжение падало не как $1/R^2$, а как угодно.

Геометрический смысл: $L/2$ – это площадь, которую радиус-вектор заметает за единицу времени. Отсюда второй закон Кеплера: планета заметает равные площади за равные времена, то есть вблизи звезды летит быстро, вдали – медленно.

Момент импульса – заодно и лучшая проверка численной схемы: он обязан сохраняться, и заметный дрейф $L$ в расчёте указывает не на физику, а на численную ошибку.

Кеплер вывел их из наблюдений Тихо Браге за полвека до Ньютона – и все три следуют из закона тяготения.

Первый. Связанная орбита планеты в задаче двух тел – эллипс, в одном из фокусов которого находится звезда. Не в центре эллипса, а именно в фокусе.

Второй. Радиус-вектор заметает равные площади за равные времена. Это и есть сохранение момента импульса.

Третий. Квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей:

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$$

В безразмерных величинах ($\alpha = 1$) третий закон записывается совсем просто:

$$T = 2\pi a^{3/2}$$

Большая полуось $a$ у эллипса – это полусумма наибольшего и наименьшего расстояния до звезды: $a = (R_{max} + R_{min})/2$.