Задания

Выключите одно из колебаний (амплитуду в ноль), а частоту второго установите $\omega = 21$, не меняя шага по времени ($\Delta t = 0.15$). Объясните получившийся график – две пересекающиеся синусоиды.

Затем:

1. посчитайте, сколько отсчётов приходится на период при этих значениях;
2. попробуйте частоты 20, 21, 22, 41.9, 42. Что происходит около 41.9 и почему именно там?
3. что следует предпринять, чтобы высокочастотные колебания отображались правильно? Проверьте свой ответ на симуляции;
4. найдите наибольшую частоту, которую при $\Delta t = 0.15$ ещё видно правильно. Сравните с $\pi/\Delta t$.

Поставьте $\omega_1 = 1$ и $\omega_2 = 1.2$, $A_1 = A_2 = 1$. На графике видны высокочастотные колебания, амплитуда которых меняется так, что наблюдается низкочастотная огибающая. Каково отношение их частот?

Дальше:

1. измерьте период биений по графику и сравните с $2\pi / |\omega_1 - \omega_2|$;
2. сближайте частоты: 1 и 1.1, потом 1 и 1.02. Что происходит с периодом биений? Когда они перестают быть заметны на графике длиной 200?
3. сделайте амплитуды разными – $A_1 = 1$, $A_2 = 0.5$. Падает ли теперь огибающая до нуля? Почему;
4. поставьте частоты равными. Что получилось и почему амплитуда ровно вдвое больше?

Измените программу так, чтобы складывались три колебания, частоты и амплитуды которых можно задавать.

Добавьте ещё две ручки в main и слагаемое в формулу. Затем посмотрите, какой график получается при частотах $\omega = 1,\ 3,\ 5$ и амплитудах $1,\ 1/3,\ 1/5$.

На что похожа кривая? Попробуйте объяснить, почему из трёх гладких синусоид получается нечто с плоскими участками.

Сравните с набором $\omega = 1,\ 2,\ 3$ и теми же амплитудами – форма получится совсем другая. Чем принципиально отличаются эти два набора частот? (Подсказка: в первом только нечётные.)

Получите график суммы $N$ колебаний, где $N$ задаётся ручкой в пульте.

Три ручки писать для каждого слагаемого невозможно, поэтому амплитуды и частоты придётся задавать формулой, а суммировать – циклом:

int N = get_int_param("Число гармоник");
float y_t = 0.f;
for (int n = 1; n <= N; n++) {
    float w = ...;   // частота n-й гармоники
    float A = ...;   // её амплитуда
    y_t += A * sin(w * t);
}

Ручка для целого числа заводится функцией add_int_param("Число гармоник", 1, 1, 50, 1).

Реализуйте три набора и посмотрите, что получается при $N$ от 1 до 30:

Вопросы:

1. сколько гармоник нужно, чтобы прямоугольник стал узнаваемым? А треугольник? Почему разница такая большая?
2. присмотритесь к углам прямоугольника при $N = 30$. Кривая перелетает через нужное значение – найдите этот горбик. Он уменьшается с ростом $N$?
3. не забывайте про шаг по времени: при $N = 30$ старшая гармоника имеет частоту 59, и по третьей статье работы шаг 0.15 для неё непригоден. Какой нужен?

Добавьте в программу начальные фазы обоих колебаний:

$$y(t) = A_1\sin(\omega_1 t + \varphi_1) + A_2\sin(\omega_2 t + \varphi_2)$$

Заведите две ручки с диапазоном от 0 до 6.28.

Поставьте равные частоты и амплитуды, а фазы сделайте разными:

1. при $\varphi_2 - \varphi_1 = 0$ – что получилось?
2. при разности $\pi$ (это 3.14) – а теперь?
3. при разности $\pi/2$ – какова амплитуда суммы? Совпадает ли с $\sqrt{A_1^2 + A_2^2}$?

Второй пункт – это интерференция с полным гашением, то, на чём работают шумоподавляющие наушники: микрофон слышит шум, а динамик выдаёт его же со сдвигом фазы на $\pi$.

Сделайте амплитуду убывающей со временем:

$$y(t) = A e^{-\gamma t} \sin(\omega t)$$

В C++ экспонента – это exp(x) из <cmath>, а $\gamma$ заведите ручкой с диапазоном от 0 до 0.5.

Вопросы:

1. за какое время амплитуда падает вдвое? Сравните измеренное значение с $\ln 2 / \gamma$;
2. меняется ли период колебаний при затухании? Проверьте на графике.