Биения и сложение многих колебаний

Сумма двух синусов раскладывается по школьной формуле:

Подставим $a = \omega_1 t$, $b = \omega_2 t$:

$$\sin(\omega_1 t) + \sin(\omega_2 t) = 2\cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2}t\right) \cdot \sin\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}t\right)$$

Произведение двух колебаний, и они очень разные:

• несущее колебание – синус со средней частотой $(\omega_1 + \omega_2)/2$. При наших числах это 1.1 – почти то же, что исходные частоты. Это то быстрое колебание, которое вы видите;
• огибающая – косинус с полуразностью частот $(\omega_1 - \omega_2)/2 = 0.1$. Он меняется в одиннадцать раз медленнее и играет роль медленно плавающей амплитуды.

Ключевая аналогия: представьте двух пловцов, плывущих почти с одинаковой скоростью. То один чуть впереди, то другой. Когда они рядом – колебания складываются и размах максимален; когда один обогнал другого на полкруга – гасят друг друга, и размах падает до нуля.

Следует различать частоту знакопеременной огибающей и частоту максимумов её модуля. Огибающая – это косинус с частотой $|\omega_1 - \omega_2| / 2$, но громкость мы слышим по модулю амплитуды, а модуль косинуса повторяется вдвое чаще самого косинуса.

Поэтому частота биений равна разности частот, а не полуразности:

$$\omega_{\text{beat}} = |\omega_1 - \omega_2|$$

При $\omega_1 = 1$ и $\omega_2 = 1.2$ получаем 0.2, то есть период биений $2\pi/0.2 \approx 31.4$. На графике, где ось времени идёт до 200, помещается примерно шесть пульсаций.

На этом основан метод измерения частоты по биениям: исследуемое колебание сравнивают с колебанием известной частоты, а измеренная частота биений даёт модуль разности их частот.

Складывать можно не два колебания, а произвольное число.

Возьмём частоты 1, 3, 5 и амплитуды 1, 1/3, 1/5:

$$y(t) = \sin t + \frac{1}{3}\sin 3t + \frac{1}{5}\sin 5t$$

Получится кривая, похожая на прямоугольный сигнал со сглаженными углами. Добавьте седьмую и девятую гармоники с амплитудами 1/7 и 1/9 – сходство усилится. С ростом числа гармоник частичные суммы всё точнее приближают прямоугольный сигнал вдали от точек разрыва.

Это ряд Фурье. При выполнении условий сходимости периодическую функцию можно представить суммой синусов и косинусов. В точке разрыва ряд сходится к полусумме односторонних пределов, поэтому сам скачок воспроизводится не как обычная точка графика.

Прямоугольник – не единственное, что собирается из синусоид. Пила, треугольник и вообще любой периодический сигнал раскладываются в такой же ряд, и отличаются они прежде всего тем, как быстро убывает амплитуда с ростом номера гармоники.

У прямоугольника амплитуды спадают как $1/n$ – медленно, поэтому высоких гармоник нужно много, и на слух такой сигнал резкий, «жужжащий». У треугольника спад как $1/n^2$ – быстрый, хватает трёх-четырёх слагаемых, и звучит он мягко.

Общее правило: чем ниже гладкость сигнала, тем медленнее обычно спадают амплитуды его гармоник. Для точного представления разрыва или излома требуется бесконечное число гармоник.

У прямоугольника, собранного из десятка гармоник, возле каждого скачка кривая выходит за предельное значение. Высота этого выброса стремится примерно к 9% величины скачка.

При увеличении числа гармоник область выброса сужается, но его предельная относительная высота не стремится к нулю.

Это эффект Гиббса. Он не ошибка расчёта и не свойство вашей программы, а математический факт про ряды Фурье. Инженеры с ним борются постоянно: в цифровой обработке звука и изображений он даёт звон возле резких переходов, а рядом с контрастной границей на сжатой картинке – светлый ореол.

Этот эффект можно наблюдать на графике частичной суммы ряда.