Шаг по времени и ложные частоты

Вспомните, что делает расчётная функция:

t += get_float_param("Шаг по времени");
float y_t = A1 * sin(w1 * t) + A2 * sin(w2 * t);
add_plot_history_point("Колебания", t, y_t, ...);

Каждый кадр время увеличивается на $\Delta t$, считается одно значение и ставится одна точка. Отрезками они не соединяются: график собран из отдельных кружков.

То есть на экране не синусоида, а её отсчёты. Пока отсчётов на период много, они ложатся плотно и читаются как сплошная кривая. При малом числе отсчётов вид графика может не соответствовать исходной функции.

Посчитаем, сколько отсчётов приходится на период при $\omega = 21$ и $\Delta t = 0.15$:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{6.283}{21} = 0.299, \qquad \frac{T}{\Delta t} = \frac{0.299}{0.15} \approx 2$$

Два отсчёта на период. По двум точкам восстановить синусоиду нельзя – через них проходит бесконечно много разных.

Посмотрим внимательнее, что именно программа считает. Значения берутся в моменты $t_k = k\Delta t$, значит

$$y_k = \sin(\omega k \Delta t)$$

Синус периодичен: прибавление $2\pi$ к аргументу ничего не меняет. Значит частоты, отличающиеся на $2\pi/\Delta t$, дают в этих точках одни и те же значения – различить их по отсчётам невозможно в принципе.

При $\Delta t = 0.15$ шаг неразличимости равен $2\pi / 0.15 = 41.89$. Наша частота 21 неотличима от частоты $21 - 41.89 = -20.89$. Знак соответствует противоположному направлению изменения фазы, а модуль ложной частоты почти совпадает с исходным. Необычный вид графика здесь связан с близостью частоты к границе Найквиста, а не с уменьшением частоты вдвое.

Рассмотрим значения отсчётов подробнее. За один шаг фаза набегает на

$$\omega \Delta t = 21 \times 0.15 = 3.15$$

а это почти ровно $\pi = 3.14159$. Обозначим избыток $\varepsilon = 3.15 - \pi = 0.0084$ и распишем отсчёт:

$$y_k = \sin(\pi k + \varepsilon k) = (-1)^k \sin(\varepsilon k)$$

Множитель $(-1)^k$ означает, что соседние точки лежат по разные стороны от оси: точка вверху, следующая внизу, и так всё время. А их размах медленно колеблется по закону $\sin(\varepsilon k)$ с периодом $2\pi/\varepsilon = 747$ шагов, то есть 112 единиц времени.

Такие точки и складываются на экране в две пересекающиеся синусоиды: одна ветвь идёт по верхним точкам, другая по нижним, и обе сходятся к нулю там, где $\sin(\varepsilon k)$ обращается в ноль. На графике длиной 200 умещается меньше двух таких сходимостей – ровно то, что видно на экране.

Явление называется алиасингом (от alias – «под чужим именем»), а по-русски – наложением спектров или появлением ложных частот.

Из рассуждения выше следует условие, при котором подмены не происходит: частота должна укладываться в половину шага неразличимости.

$$\omega < \frac{\pi}{\Delta t}$$

то же самое, записанное через шаг:

$$\Delta t < \frac{\pi}{\omega} = \frac{T}{2}$$

Иными словами: на период должно приходиться больше двух отсчётов. Это теорема Котельникова (в англоязычной литературе – теорема Найквиста – Шеннона), одно из основных утверждений всей цифровой техники.

При $\Delta t = 0.15$ предельная частота равна $\pi/0.15 = 20.94$. Частота 21 находится немного выше этой границы.

Ровно два отсчёта на период недостаточны для гарантированного восстановления: например, при определённой фазе все отсчёты синуса окажутся нулевыми. Поэтому условие записано со строгим знаком, а для наглядного графика требуется дополнительный запас:

Отсюда и способ показать высокочастотное колебание правильно: уменьшить шаг по времени. Например, при $\omega = 21$ и $\Delta t = 0.03$ на период приходится около десяти отсчётов.

Алиасинг возникает везде, где непрерывная величина измеряется в отдельные моменты.

Звук. Компакт-диск хранит 44 100 отсчётов в секунду, поэтому его частота Найквиста равна 22 050 Гц. Слышимый диапазон обычно ограничивают примерно 20 кГц, а частоты выше рабочей полосы перед дискретизацией подавляют аналоговым фильтром – иначе ультразвук превратился бы в слышимый свист на чужой частоте.

Кино. Колёса едущей машины в фильмах часто крутятся назад: спицы снимаются 24 раза в секунду, и при достаточной скорости вращения возникает ровно та же подмена частоты. Это буквально та же формула, что мы написали для синуса.

Цифровые фотографии. Мелкий регулярный рисунок на ткани, снятый матрицей с крупными пикселями, даёт разноцветные разводы – муар. Тот же алиасинг, только в пространстве, а не во времени.

Численные расчёты. В следующей задаче о маятнике шаг по времени должен разрешать период колебаний; в задаче про баллистику – момент попадания в мишень. Всякий раз это одно и то же требование: шаг должен быть мельче самого быстрого явления, которое вы хотите увидеть.