Восьмеричная и шестнадцатеричная системы

Восьмеричная система счисления – позиционная система с основанием 8, использующая цифры от 0 до 7.

Шестнадцатеричная система счисления – позиционная система с основанием 16, использующая цифры от 0 до 9 и дополнительно буквы A, B, C, D, E, F для значений 10–15.

Буквы нужны потому, что цифра в системе с основанием 16 может принимать 16 разных значений (0–15), а привычных арабских цифр – только десять. Поэтому для значений больше 9 занимают буквы: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Здесь важно не запутаться: A – это одна цифра, а не слово и не переменная. В записи $2A5_{16}$ ровно три разряда, как и в записи $295_{10}$.

Дело не в случайном выборе: $8 = 2^3$, а $16 = 2^4$ – оба основания являются степенями двойки. Из этого следует главное удобство: один разряд восьмеричного числа всегда кодирует ровно 3 бита, а один разряд шестнадцатеричного – ровно 4 бита, без остатка.

Поэтому перевод между двоичной и восьмеричной/шестнадцатеричной системами не требует полного пересчёта (как для перевода в десятичную – об этом в уроке 2.4), а делается простой группировкой битов по 3 или по 4, справа налево.

С десятичной системой такой фокус не проходит именно потому, что 10 – не степень двойки: сколько бит ни бери, ровно одну десятичную цифру они не закодируют.

Разберём число $11010110_2$.

В шестнадцатеричную. Делим на группы по 4 бита справа налево: 1101 и 0110. Считаем каждую группу отдельно: 1101 = 13 = D, 0110 = 6. Получаем $D6_{16}$.

В восьмеричную. Делим на группы по 3 бита справа налево: 11, 010, 110. Восемь на три без остатка не делится, поэтому старшая (левая) группа оказалась короче – в ней всего 2 бита. Это не ошибка: недостающие разряды слева дописывают нулями, 11 – это то же самое, что 011. Считаем: 011 = 3, 010 = 2, 110 = 6. Получаем $326_8$.

Дописывать нули можно только слева: 011 и 11 – одно и то же число, а вот 110 и 11 – разные. Ровно как в десятичной записи: 07 = 7, но $70 \ne 7$.

Итог: $214_{10} = 11010110_2 = 326_8 = D6_{16}$ – четыре записи одного и того же числа. Строгую проверку через развёрнутую форму сделаем в уроке 2.4, здесь важен сам приём группировки.

То же самое число – но теперь интерактивно. Переключайтесь между восьмеричной и шестнадцатеричной группировкой и кликайте по битам: цвет группы всегда соответствует цвету цифры, в которую она превращается.

А если нужно перевести из восьмеричной сразу в шестнадцатеричную? Считать через десятичную можно, но долго и легко ошибиться. Есть приём короче: обе системы связаны с двоичной, значит двоичная запись и будет мостом между ними.

Переведём $326_8$ в шестнадцатеричную:

1. Каждую восьмеричную цифру расписываем ровно тремя битами: 3 → 011, 2 → 010, 6 → 110.
2. Склеиваем биты в одну ленту: 011010110.
3. Перегруппировываем её заново – теперь по 4 бита справа налево: 1101 и 0110 (лишний ноль слева отбрасываем).
4. Считаем группы: 1101 = D, 0110 = 6. Ответ: $D6_{16}$.

Правило «ровно тремя битами» на шаге 1 обязательно: если записать 3 как 11, а не 011, лента склеится неправильно и ответ поедет. В обратную сторону – из шестнадцатеричной в восьмеричную – приём тот же, только на первом шаге каждая цифра расписывается четырьмя битами, а группировать нужно по три.

Шестнадцатеричная система на практике встречается часто: коды цветов в вёрстке (#FF5733), адреса в памяти компьютера, хеш-суммы файлов (MD5, SHA), отладочный вывод.

Восьмеричная система сегодня используется реже, но исторически была важна: например, в миникомпьютере PDP-8 (1965) под код операции отводились ровно 3 старших бита 12-битного машинного слова – а это ровно один восьмеричный разряд, дающий как раз 8 возможных команд (0–7). Поэтому первая восьмеричная цифра слова показывала код команды напрямую, без пересчёта; при группировке по 4 бита (шестнадцатеричная запись) код операции «размазывался» бы между разрядами. Ту же восьмеричную запись использовали и другие машины линейки DEC с 18- и 36-битным словом – оба числа делятся на 3, но 18 не делится на 4 ровно, так что восьмеричная была для этой линейки универсальным соглашением. Широкое распространение шестнадцатеричной системы связывают с компьютерами IBM System/360 (1964): там байт (8 бит) – устоявшаяся единица памяти, ровно делящаяся на 4, и шестнадцатеричная запись байта стала стандартом де-факто.