Задание 6. Исполнитель Черепаха – ЕГЭ по информатике

Что проверяет задание

Задание 6 – программа для исполнителя Черепаха. По программе надо восстановить фигуру и посчитать про неё что-нибудь: сколько точек с целыми координатами лежит внутри, какая у фигуры площадь, какой периметр.

1 балл, норматив 4 минуты.

Что нужно знать заранее:

декартовы координаты и умение прочитать маршрут по шагам;
старт: Черепаха стоит в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, то есть вверх, а «Направо» – поворот по часовой стрелке;
цикл for в Python – в него превращается «Повтори»;
модуль turtle – черновик, чтобы увидеть фигуру, когда углы не прямые.

Главное, ради чего всё это: когда все повороты кратны 90 градусам, фигура – прямоугольник, и задача решается в уме за минуту, без компьютера. Программа нужна тогда, когда в условии появляются повороты на другие углы.

Типовой пример

Задание 6 демонстрационного варианта ЕГЭ-2027 (ФИПИ).

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует 6 команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд n (где n – целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад n (где n – целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо m (где m – целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке; Налево m (где m – целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов против часовой стрелки.

Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм.

Повтори 6 [Вперёд 24 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90]
Поднять хвост
Вперёд 2 Направо 90 Вперёд 10 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 6 [Вперёд 75 Направо 90 Вперёд 71 Направо 90]

Определите, сколько точек с целочисленными координатами находятся внутри области пересечения фигур, ограниченных заданными алгоритмом линиями, включая точки на границах этого пересечения.

Как рассуждать

Куда смотрит Черепаха вначале. «Голова вдоль положительного направления оси ординат» – значит вверх, а не вправо. «Направо 90» – поворот по часовой стрелке: смотрели вверх, стали смотреть вправо.
Разберите «Повтори» на один проход. Вперёд 24 из $(0, 0)$ вверх – пришли в $(0, 24)$. Направо 90 – смотрим вправо. Вперёд 30 – $(30, 24)$. Направо 90 – смотрим вниз. Один проход нарисовал две стороны.
Второй проход замыкает контур. Вперёд 24 вниз – $(30, 0)$, поворот, Вперёд 30 влево – снова $(0, 0)$, поворот – снова смотрим вверх. Начальное положение повторилось полностью, поэтому оставшиеся четыре прохода идут по уже нарисованному. Повтори 6 не значит шесть фигур. Первая фигура – прямоугольник с углами $(0, 0)$ и $(30, 24)$.
Переезд с поднятым хвостом. Линии нет, но движение есть: из $(0, 0)$ вверх на 2 – $(0, 2)$, поворот направо, вперёд 10 – $(10, 2)$, поворот налево – снова смотрим вверх. Вторая фигура начинается в $(10, 2)$.
Вторая фигура строится так же и даёт прямоугольник с углами $(10, 2)$ и $(81, 77)$.
Пересечение двух прямоугольников со сторонами по осям – снова прямоугольник, и по каждой оси он считается отдельно: по $x$ от $\max(0, 10) = 10$ до $\min(30, 81) = 30$, по $y$ от $\max(0, 2) = 2$ до $\min(24, 77) = 24$.
Считаем целые точки. На отрезке от $a$ до $b$ целых точек $b - a + 1$, а не $b - a$: «включая границы» – это и есть та самая единица. По горизонтали $30 - 10 + 1 = 21$, по вертикали $24 - 2 + 1 = 23$, всего $21 \cdot 23 = 483$.

Рисовать не пришлось: всё решилось трассировкой на полях. Но так бывает не всегда – дальше о том, что делать, когда углы не прямые.

Ответ: 483.

Модуль turtle: минимум, чтобы увидеть фигуру

В банке заданий встречаются повороты на другие углы – там вершины в уме не посчитать, и фигуру проще нарисовать. В Python для этого есть встроенный модуль turtle, и устроен он ровно как исполнитель из условия: те же команды, только по-английски.

Команда исполнителя	Python, модуль `turtle`
Вперёд n	`forward(n)`, коротко `fd(n)`
Назад n	`backward(n)`, коротко `bk(n)`
Направо m	`right(m)`, коротко `rt(m)`
Налево m	`left(m)`, коротко `lt(m)`
Поднять хвост	`penup()`, коротко `up()`
Опустить хвост	`pendown()`, коротко `down()`
Повтори k [ … ]	`for _ in range(k):` и команды с отступом

Направление старта не совпадает. У исполнителя из условия голова смотрит вдоль оси ординат, вверх. Черепаха из turtle в начале смотрит вправо, вдоль оси абсцисс. Поэтому первая строка программы – left(90): без неё рисунок ляжет набок. На число точек и на площадь это не влияет (фигуру просто повернули), а вот координаты вершин, снятые с такой картинки, к условию уже не подходят.

Масштаб и окно. Единица Черепахи в turtle – один пиксель на экране: прямоугольник $30 \times 24$ выйдет размером с ноготь. Хуже другое – начало координат у окна посередине, поэтому фигура, уходящая вправо и вверх, наполовину окажется за краем. Лечит это одна пара строк: setup(800, 750) задаёт размер окна в пикселях, а setworldcoordinates(-6, -6, 90, 84) – какую область в единицах Черепахи в это окно вписать. После них команды пишутся числами прямо из условия: fd(24), а не fd(24 * 10). Соотношение сторон у окна и у области держите одинаковым ($800 : 750$ и $96 : 90$ – это одно и то же), иначе квадрат нарисуется прямоугольником.

Точки. dot(d) ставит точку диаметром d пикселей там, где сейчас стоит Черепаха, а goto(x, y) переносит её в нужное место. Сетка целых точек – это поднятый хвост и двойной цикл по $x$ и $y$ с goto(x, y) и dot(3). Дальше точки в нужной области считают глазами прямо по картинке – для непрямоугольной фигуры это и есть рабочий способ.

Скорость и окно. speed(0) убирает задержку анимации, но для сетки из тысячи точек этого мало: tracer(0) в начале выключает перерисовку совсем, а update() в конце показывает всё разом. hideturtle() убирает значок черепашки, done() не даёт окну закрыться сразу.

Цвет и толщина. pencolor('red') и pensize(2) к заданию отношения не имеют, но без них два контура на картинке сливаются в один, и разглядеть их пересечение трудно.

Черновик: рисуем фигуру черепахой

from turtle import *

setup(800, 750)                      # размер окна в пикселях
setworldcoordinates(-6, -6, 90, 84)  # видимая область в единицах Черепахи

speed(0)
tracer(0)               # без анимации: сетка точек иначе рисуется минутами
pensize(2)
left(90)                # голова вдоль оси ординат, как в условии

pencolor('blue')        # Повтори 6 [Вперёд 24 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90]
for _ in range(6):
    fd(24); rt(90); fd(30); rt(90)

up()                    # Поднять хвост
fd(2); rt(90); fd(10); lt(90)
down()                  # Опустить хвост

pencolor('red')         # Повтори 6 [Вперёд 75 Направо 90 Вперёд 71 Направо 90]
for _ in range(6):
    fd(75); rt(90); fd(71); rt(90)

up()                    # сетка целых точек: пересечение внутри первой фигуры
pencolor('gray')
for x in range(0, 40):
    for y in range(0, 30):
        goto(x, y)
        dot(3)

hideturtle()
update()                # показать всё разом
done()                  # окно не закроется само

Окно turtle: две фигуры и сетка целых точек

Решение

# Границы прямоугольников, снятые с программы Черепахи
x1, y1, x2, y2 = 0, 0, 30, 24      # первая фигура
x3, y3, x4, y4 = 10, 2, 81, 77     # вторая фигура

count = 0
for x in range(-200, 201):         # с запасом: рисунок целиком внутри
    for y in range(-200, 201):
        first = x1 <= x <= x2 and y1 <= y <= y2
        second = x3 <= x <= x4 and y3 <= y <= y4
        if first and second:       # пересечение; объединение – first or second
            count += 1

print(count)

Если условие другое

Границы обеих фигур снимаются с программы один раз, и дальше меняется ровно одна строка – смысл вопроса. Числа в таблице – для разобранного примера.

Что спрашивают	Что делать
«внутри объединения фигур»	в условии `if` вместо `and` поставить `or`
«точки на границах не учитывать»	строгие неравенства: `x1 < x < x2` и так далее
«площадь пересечения»	точки не перебирают: стороны $30 - 10 = 20$ и $24 - 2 = 22$, площадь $20 \cdot 22 = 440$
«периметр пересечения»	$2 \cdot (20 + 22) = 84$
«Назад n» в программе	шаг в сторону, противоположную голове; в черновике – `bk(n)`
«Налево 270»	то же самое, что «Направо 90»
в программе есть углы, отличные от 90	границы в уме определить не так просто: рисуем черновиком, считаем точки (будет быстрее, чем вывод уравнений кривых)

Типичные ошибки

Посчитали длину стороны, а не точки. На отрезке от 10 до 30 целых точек 21, а не 20. Ошибка на единицу по каждой оси – и вместо 483 получается 440.
Забыли, что с поднятым хвостом Черепаха всё равно едет. «Поднять хвост» отменяет линию, а не движение. Второй прямоугольник начинается в $(10, 2)$, а не в $(0, 0)$, и пересечение без этого получится не то.
Черепаха в Python стартует не туда. У исполнителя голова вдоль оси ординат, у turtle – вдоль оси абсцисс. Без left(90) в начале рисунок лежит набок, и координаты вершин, снятые с него, к условию не подходят.
Ответили не на тот вопрос. Площадь, периметр, точки внутри, точки включая границы – это четыре разных числа по одной и той же фигуре. Перечитайте последнюю строку условия перед тем, как записать ответ.